撰写者|嘉伟

图片来源： Unsplash/CC0 Public Domain

用热手去吧。

—— 篮球爱好者的口头禅

在三月份的文章《那个曾经随时可能失明的少年，刚刚获得数学界最高荣誉》 中，有一个问题用来证明概率是多么反直觉：

假设您后来抛硬币100 次。 —— 可以给你一个正面（H）和反面（T）的序列。

现在您可以选择积分规则。

规则A：对于序列中的每个HH，您将获得一分；每有一个HT，你的对手就得一分。

规则B：相反，对于序列中的每个HH，你的对手得到一分；对于每个HT，您将获得一分。

例如，对于序列段HHHT，根据A规则，你得2分，对手得1分。

问：您应该选择哪种规则才能比对手获得更多分数？或者说，两种规则的获胜概率是一样的？

在文章的最后，作者指出答案是B。因为虽然HH和HT的数学期望相同，但它们的分数分布不同。此时前者过于集中（3H得分2分），导致胜率较低。

从各平台评论区的反馈来看，不少读者对这个结果表示怀疑。这其实是可以理解的。

24小时后，投票人数达到5万人，尽管只有10%的人回答正确。

多伦多大学数学助理教授丹尼尔·利特发起的概率问题投票截图|资料来源：littmath@twitter.com。

我们当然可以为这个概率问题提供严格的数学论证，但这恐怕不是大多数读者“想看到的”。而且，以这种方式掩埋这个问题的真实背景，实在是有辱风景！毕竟，用NBA和NCAA比赛中球员的状态来理解数学模型要具体和有趣得多。

疯狂三月和热手效应

4月9日，在NCAA“疯狂三月”全国锦标赛决赛中，康涅狄格大学击败普渡大学75:60。康涅狄格大学篮球队已6次杀入NCAA决赛，6次夺冠！

NCAA（全国大学体育协会）是一个涉及美国和加拿大一千多所学院和大学的体育协会。它举办各种体育运动的联赛，包括篮球、足球、棒球、冰球、田径、体操、摔跤等。其中，最受关注的就是NCAA男篮一级锦标赛，该锦标赛在每年三月举行，常被称为“疯狂三月”。该赛事吸引了大量观众和运动员，使其成为美国大学生最重要的赛事之一。包括NBA 在内的赛事直播将避开疯狂三月的重要赛事。每年在中国也有很多粉丝关注这项赛事。

许多球迷一定还记得史蒂芬·库里在2008年NCAA上的超人表现：他带领弱旅戴维森学院取得胜利，同时在下半场几乎凭借一己之力击败了强大的冈萨加大学。 （冈萨加）队。那天年轻的库里取得成功是因为他的技术、运气还是他身上的特殊之处？

几乎每个篮球运动员、教练或球迷都相信某些球员具有令人难以置信的热手效应。有人认为就是现在比较出名的ZONE状态或者流状态。

火热的手感基本上意味着球员进入一种特殊的状态，个人技术和视野都达到巅峰，投篮就像奇迹一样。历史上，像克雷格·霍奇斯这样连续命中19个三分球的人，或者已经成为金州勇士队控球后卫的史蒂芬·库里在训练中连续命中105个三分球，篮球评论员经常将其归因于“感觉来了”、“手”变暖了。”

用一些NBA球员的话说：你意识到你的身体是协调的，你的思想是专注的，你的情绪是自信的。 —— 因此，成功是必然的。将球放入篮筐毫不费力。

然而，即便是在NCAA的官网上，对于热手效应的解释也早已是：不存在。这只是一种幻觉，因为我们作为人类倾向于将随机性的随机部分视为内部模式。事实上，研究行为和决策的科学家在过去30年里一直持有这种观点。

不久前去世的诺贝尔经济学奖获得者丹尼尔·卡尼曼曾直言：“热手效应是一种巨大而普遍的认知错觉。”

在查看NCAA 历史投篮数据时，GVT 发现投篮命中和投失的顺序与重复抛硬币时正面和反面出现的顺序没有区别。

就像赌徒抛硬币时偶尔会连续出现正面一样，篮球运动员投篮时有时也会连续命中。 GVT 的结论是，热手是一种“认知错觉”；人们倾向于“识别”随机性模式，将完全典型的随机现象视为非随机现象。

此后，学术界将热手效应定性为“热手谬误”。

更重要的是，GVT发现，职业从业者（NBA球员和教练）不仅是认知错觉的受害者，而且他们对热手的信念也很顽固。在NBA的关键比赛中，教练和球员往往会给那些看起来手感火热的球员投篮。

GVT 的结果对心理学家和经济学家如何思考基于信息的决策产生了深远的影响。随着GVT 的结果被推断到篮球以外的领域，热手谬误成为了一种文化模因。从金融投资到电子竞技的一切都得到了体现。

但是，事实真的是这样吗？

NBA球员的场上表现和条件概率

不管科学家怎么说，大多数篮球迷始终相信热手效应，甚至在《NBA嘉年华》（NBA Jam）》等电子游戏中也有所体现。游戏中，如果玩家控制玩家连续多次投篮，球就会被火焰覆盖。

当俱乐部聘请的运动科学顾问向球员和教练解释GVT研究结论时，许多球员选择了忽视。波士顿凯尔特人队传奇教练雷德·奥尔巴赫有句名言：“这个家伙（GVT）是谁？他做了他的研究，但我不在乎。 ”

学术界的反对同样强烈，但特沃斯基和吉洛维奇成功地捍卫了他们的论点，同时指出了反对他们的论文中的严重缺陷。因此，尽管仍有一些孤立的质疑者，但GVT的结果已经被视为科学界（但不是篮球界）的共识。

这种情况直到2017年才得到改变，当时一篇开创性的论文[2]表明GVT的经典研究以及基于它的后续研究存在较小但显着的选择偏差，从而影响了统计结果。基本上，研究团队在寻找条纹或热手现象时选择样本的方式使他们的数学模型无效。当研究人员将偏差纳入计算时，应该会出现热手效应。当球员变得“火热”时，他们就是球场上不可忽视的力量。

信息科学、运筹学和决策技术领域的两位研究人员—— 博科尼大学决策科学系副教授Joshua Miller 和阿利坎特大学经济学副教授Adam Adam Sanjurjo 重新审视了GVT 的概率模型，发现后者做了一个隐含的假设，即如果通过抛硬币来确定100 次投篮结果的顺序，那么每个球员的得分能力将是一致的。的统计量也必须遵循相同的分布。

令人惊讶的是，这个直观上显而易见的前提是错误的。注意，正是在这里，篮球比赛与卷首的概率问题联系起来了！

Miller和Sanjurcho认为，建立热手效应的数学模型，不仅对应随机抛硬币得到的正（H，对应射中）和负（T，对应射失）序列，还需要考虑正序列（H，对应于错过的镜头）。 HH，连续得分，有手热的迹象）和面对面（HT，得分然后投篮不中）。不过，正如作者一直强调的那样，虽然HH和HT的概率相同，但前者显得更加集中！这一事实使GVT 论点无效。

完整的论点可以在参考文献[2]中找到，该文献可以在线获取。这里的推理应用了所谓的限制选择原则，该原则出现在桥牌中，是贝叶斯推理背后的直观思想，贝叶斯推理是用新信息更新信念的标准数学程序。米勒的结果与各种概率难题和统计偏差有关。该问题的最简单版本几乎相当于著名的蒙蒂霍尔问题，该问题曾经难倒了著名数学家保罗·埃尔多斯和许多其他聪明人。

如果一个NBA球员的状态波动，当他手热的时候（随机热，无法控制），他可以在一场比赛中得到80分，但是当他手不热的时候，他的得分就变成个位数；同时，他的队友场均得分如果与他相同，但他的场均得分波动在5分之内，那么他对球队的贡献其实还不如得分更多的队友每场比赛均匀。

原题中的规则A是“玩家”在运气好时可以获得极高的分数。在某些比赛中，这名球员以高分碾压对手，但如果只看平均分，他和对手得分相等，而且每次对手获胜，他都以微弱的优势获胜。这意味着“赛季”下降，规则A意味着你输得更多，赢得更少。

因此，如果你选择规则A，那么很有可能会以大比分获胜，得到70或80分，但实际上，只要得到50分就足够了。浪费的积分多了。如果选择B规则，最高分只有50分，所以每次B规则获胜，分数会更加均匀。您玩游戏的次数越多（每场游戏抛硬币100 次），您赢得B 的可能性就越大。

米勒也参与了原问题的讨论，并给出了直观的解释。 |来源：jben0@twitter.com

热手效应的影响

热手效应的研究不仅仅关乎NBA和篮球比赛本身，虽然NBA也是一个价值数百亿美元的大生意，但它更关乎信息行为决策和统计工具的正确应用在现实世界中。

康涅狄格大学经济学副教授雷米·莱文(Remy Levin) 高度评价了米勒和桑朱尔乔的论文：“这非常令人兴奋，也是我每年在行为研究中最喜欢教授的内容之一。超级。有趣、违反直觉的有限样本结果对测量条件概率的实践产生了重大影响，这是我最喜欢的科学成果之一。”

现在让我们回到GVT 数据。 GVT将投篮分为连续3次（或以上）投篮得分和连续3次（或以上）投篮不中，并比较各项数据的分布情况。因为米勒夫妇指出了一个令人惊讶的数学结论（也是我们思考的问题！），他们发现历史数据中连续投篮得分后，下一次投篮得分的概率比预期高出11倍。百分点！

连续命中时，投篮精准度相对提升11个百分点，不容忽视。事实上，这大致相当于NBA 平均得分手和最佳三分射手之间的投篮命中率差异。因此，GVT 的数据揭示了与最初发现的相比，显着的、统计上显着的热手效应！

更重要的是，支持热手效应的证据并不是独一无二的。事实上，在最近的研究中，我们发现这种效应在NBA 三分球大赛以及其他对照研究中得到了证明。其他研究人员使用罚球和比赛数据进一步支持了这一点。此外，由于另一个称为“测量误差”的微妙统计问题，热手效应很可能比我们估计的更重要。

热手效应背后的机制无疑是复杂的。一些研究发现，与安慰剂效应类似，如果玩家本人不相信热手效应，他将很难获得比平时更好的手感。

2022年的研究[3]进一步指出，手部发热并不意味着球员可以从球场上的任何地方突然投篮。对于NBA 球员来说，热手看起来就像他们在比赛中发现了一个可利用的漏洞，可能是由一个矮小的球员防守他们，并通过更多地进行某种类型的投篮来利用这个漏洞。

虽然这个假设是合理的，但它可能不是导致热手的唯一因素。短期神经可塑性，即玩家大脑快速适应游戏条件的能力，可能是一个原因吗？注意力和心理准备怎么样？不管是什么原因，现有的研究提供了强有力的证据支持热手效应的存在。

所以令人惊讶的是，这些NBA 球星的经历实际上一直都是正确的。今天，NCAA官网删除了将热手效应归因于认知谬误的页面。

参考

[1]篮球中的热手： 论随机序列的误解- ScienceDirect

[2] 对赌徒谬误和热手谬误感到惊讶吗？ 《小数定律中的真理》作者：Joshua B. Miller、Adam Sanjurjo : SSRN

[3]野外热手|公共科学图书馆一号

[4]OSF 预印本|对“热手谬误”感到惊讶吗？小数法则的真理

动量并不神奇——用连胜的数学来证明手感不错(theconversation.com)

[5]https://codepen.io/lunar-dark/pen/NWmpKpM

[6] 热手及其对NBA: arXiv:2010.15943 的影响

出品单位：中国科协科普部

出品单位：中国科学技术出版社有限公司、北京中科银河文化传媒有限公司

用户评论

看我发功喷飞你

哎，这文章写得真有意思，我一直以为诺贝尔奖得主不会有错，结果一看，还真有反直觉的现象。不过NBA球星的观点确实有道理，他们的实战经验有时候确实能颠覆我们的认知。

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孤城暮雨

诺贝尔奖获得者也可能犯错？我还真没想到。不过，NBA球星的话听起来挺有道理的，看来体育界的大咖们也有自己的见解。

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七级床震

这文章让我对诺贝尔奖得主有了新的认识，原来他们也有犯错的时候。不过，NBA球星的观点我觉得更有说服力，毕竟实战经验才是检验真理的唯一标准。

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情如薄纱

诺贝尔奖得主有时候也会犯错，真是让人意外。不过，NBA球星的观点我觉得挺有意思的，他们的经验确实能给我们带来新的视角。

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疲倦了

看了这篇文章，我觉得诺贝尔奖得主和NBA球星都有他们的道理。反直觉的现象确实存在，关键是要看我们如何去理解。

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绝版女子

这文章让我对反直觉的现象有了更深的理解。虽然诺贝尔奖得主可能错了，但NBA球星的观点确实让我眼前一亮。

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哥帅但不是蟋蟀

没想到诺贝尔奖获得者也会犯错，真是长见识了。不过，NBA球星的观点我觉得更接地气，他们的实战经验确实很有价值。

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有阳光还感觉冷

这篇文章让我对诺贝尔奖得主和NBA球星都有了新的认识。他们的观点虽然不同，但都值得我们思考。

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孤廖

诺贝尔奖获得者有时候也会犯错，这让我对科学家的形象有了新的认识。不过，NBA球星的观点确实让我对篮球有了更深的理解。

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心脏偷懒

这文章让我对反直觉的现象有了更深的思考。虽然诺贝尔奖得主可能错了，但NBA球星的观点让我对篮球有了新的认识。

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念旧情i

诺贝尔奖获得者犯错？这太让人意外了。不过，NBA球星的观点确实让我对篮球有了新的认识，他们的实战经验真的很宝贵。

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浅巷°

这文章让我对科学和篮球都有了新的认识。虽然诺贝尔奖得主可能错了，但NBA球星的观点让我对篮球有了新的理解。

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病态的妖孽

反直觉的现象确实存在，这让我对世界有了新的认识。虽然诺贝尔奖得主可能错了，但NBA球星的观点让我对篮球有了更深的体会。

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遗憾最汹涌

这篇文章让我对诺贝尔奖得主和NBA球星都有了新的认识。他们的观点虽然不同，但都让我对世界有了新的认识。

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走过海棠暮

诺贝尔奖获得者也可能犯错，这让我对科学有了新的认识。不过，NBA球星的观点让我对篮球有了新的理解，他们的实战经验真的很重要。

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青墨断笺み

这文章让我对反直觉的现象有了新的思考。虽然诺贝尔奖得主可能错了，但NBA球星的观点让我对篮球有了更深的体会。

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男神大妈

诺贝尔奖获得者犯错？这太让人意外了。不过，NBA球星的观点确实让我对篮球有了新的认识，他们的实战经验真的很宝贵。

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米兰

这篇文章让我对科学和篮球都有了新的认识。虽然诺贝尔奖得主可能错了，但NBA球星的观点让我对篮球有了更深的理解。

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