书接上回，我们今天继续美妙的拉格朗日点L4点和L5点，说实话拉格朗日作为数学家能推算这两个点真是[赞][赞][赞]

首先我们先简单了解一下这两个点。这两个点位于以两个大物体连线为底的等边三角形的第三个顶点上。为什么是等边三角形，我们下期会证明我们这期主要说明这两个点为什么是拉格朗日点？

重点来了：我们以地球和月球为例来说明，假设地球的质量为M，其质心在O1，月亮的质量为m，其质心在O2，月亮和地球的距离为R，小物体的质量为u，整个系统的质心为O，系统质心和地球的距离为x，P点为L4点，PO的距离为r，等边三角形O1O2P的边长显然为R。

因为L4点上的小物体质量远小于地球和月亮的质量，所以我们认为整个系统的质心在地球和月球的连线上，即O点，所以小物体也是围绕O点在旋转。

由双星系统的知识我们可以得到x=Rm/(m+M)，则在三角形O1OP中，利用余弦定理可得r=R*根号下（m的平方+M的平方+mM)/(m+M)，再利用正弦定理可得角O1PO的正弦等于m（sin60度）根号下/（m的平方+M的平方+mM)。这些都是纯几何知识。

接下来我们看一下小物体在拉格朗日点受到的合外力即向心力是不是也在PO这条线上？

地球对小物体的万有引力等于GMu/(R的平方)，月球对小物体的万有引力等于Gmu/(R的平方)，则合力根据计算易得Gu*根号下（m的平方+M的平方+mM)/(R的平方)，所以利用正弦定理可知地球对小物体的万有引力与合力的夹角的正弦等于m（sin60度）根号下/（m的平方+M的平方+mM)。

根据这两个正弦值相等，我们可知拉格朗日点受到的合外力即向心力确实是在PO这条线上，即指向质心O点。这是超级重要考点。

当然指向质心不一定就可以作为整体共同转动，我们还需要从拉格朗日点处小物体做匀速圆周运动需要的向心力和万有引力的合力提供的向心力是否相等才能真正判定。

分别以地球和月球为研究对象，忽略小物体的万有引力对他们的影响，则可以得到，

GMm/（R的平方）=M(的平方)x

GMm/（R的平方）=m(的平方)(R－x)

由上面两个式子可得的平方=G(M+m)/R的立方

所以小物体所需要的向心力等于u(的平方)r=Gu*根号下（m的平方+M的平方+mM)/(R的平方)与万有引力的合力恰好相等，到此我们就完美的证明了[可爱]

同理L4点关于地球月球连线的对称点就是L5点。

最后补充一点，如果L4点稍微往下移动一点，则万有引力的合力提供的向心力就变小了，而小物体维持匀速圆周运动所需要的向心力变小，所以小物体仍旧可以回到原来的位置。可见这两个点是相当稳定。

备注，文中的部分详细计算过程省略了，如有疑问可留言。

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